Matemática do dia a dia
Calculadora de MMC e MDC
Calcule o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum de dois ou mais números, com a fatoração em primos.
Informe seus dados
Informe dois ou mais números inteiros separados por espaço.
O que cada um significa
O máximo divisor comum é o maior número que divide todos os informados sem deixar resto. Ele responde perguntas de repartição: qual é o maior tamanho de grupo em que consigo dividir tudo de forma igual.
O mínimo múltiplo comum é o menor número divisível por todos eles. Ele responde perguntas de coincidência: daqui a quanto tempo dois eventos que se repetem em intervalos diferentes voltam a acontecer juntos.
Onde cada um resolve um problema real
MDC. Cortar tábuas de comprimentos diferentes em pedaços iguais do maior tamanho possível. Distribuir itens de tipos diferentes em kits iguais sem sobra. Simplificar frações até a forma irredutível.
MMC. Descobrir quando dois ônibus com intervalos diferentes saem juntos de novo. Sincronizar manutenções com periodicidades distintas. Encontrar o denominador comum para somar frações.
A relação entre os dois
Para dois números, o produto deles é sempre igual ao produto do MMC pelo MDC. Isso significa que, sabendo um, o outro sai por divisão.
A fatoração em números primos mostrada na calculadora deixa a lógica visível: o MDC pega os fatores comuns com o menor expoente, e o MMC pega todos os fatores com o maior expoente.
Dois exemplos resolvidos
Para 12 e 18, a fatoração dá 12 igual a 2² vezes 3, e 18 igual a 2 vezes 3². O único primo repetido em ambos, no menor expoente, produz MDC igual a 6. Reunindo todos os primos no maior expoente, chega-se a 36 como MMC. A verificação fecha: 12 vezes 18 dá 216, e 6 vezes 36 também dá 216.
Com três números o cenário muda. Para 8, 12 e 20, as fatorações são 2³, 2² vezes 3 e 2² vezes 5. O MDC é 4 e o MMC é 120. Repare que a regra do produto não vale aqui: 8 vezes 12 vezes 20 dá 1.920, enquanto 4 vezes 120 dá 480. Esse atalho serve apenas para um par.
Casos limite e o engano mais frequente
Quando os números não compartilham nenhum primo, o MDC é 1 e o MMC é o produto deles. É o caso de 9 e 10, com MDC 1 e MMC 90.
Quando um número divide o outro, o MDC é o menor e o MMC é o maior, sem conta alguma: para 6 e 24, são 6 e 24.
O erro comum é trocar os dois. Pergunta sobre repartir em grupos iguais pede MDC. Pergunta sobre quando dois ciclos coincidem pede MMC.